\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2m-1\left(1\right)\\x^2+y^2=m^2+2m-3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=m^2+2m-3\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2-m^2-2m+3=2xy\)

\(\Leftrightarrow2xy=3m^2-6m+4\)

\(P_{min}\Leftrightarrow3m^2-6m+4\left(min\right)\)

\(3\left(m^2-2m+\dfrac{4}{3}\right)=3\left(m^2-2m+1+\dfrac{1}{3}\right)=3\left[\left(m-1\right)^2+\dfrac{1}{3}\right]=3\left(m-1\right)^2+1\ge1\)

\("="\Leftrightarrow m=1\)

Vì \(\dfrac{2}{1}\ne\dfrac{-1}{1}=-1\)

nên hệ luôn có nghiệm duy nhất

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=3m-7\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x=3m-7+1=3m-6\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m-2\\y=1-m+2=-m+3\end{matrix}\right.\)

Để x,y dương thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-2>0\\-m+3>0\end{matrix}\right.\)

=>2<m<3

\(P=x-y-xy-2m\)

\(=m-2-\left(-m+3\right)-\left(m-2\right)\left(-m+3\right)-2m\)

\(=m-2+m-3+\left(m-2\right)\left(m-3\right)-2m\)

\(=m^2-5m+6-5=m^2-5m+1\)

\(=m^2-5m+\dfrac{25}{4}-\dfrac{21}{4}=\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{21}{4}>=-\dfrac{21}{4}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m=5/2(nhận)

- Từ PT ( II ) ta có : \(xy\left(x+y\right)=2xy=4m^2-2m\)

\(\Rightarrow xy=2m^2-m\)

- Hệ PT trên có nghiệm là nghiệm của PT :

\(x^2-2x+2m^2-m=0\) ( I )

Có : \(\Delta^,=b^{,2}-ac=1-\left(2m^2-m\right)=-2m^2+m-1\)

- Để PT ( i ) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta^,>0\)

\(\Leftrightarrow-2m^2+m-1>0\)

Vậy không tồn tại m để hệ phương trình có nghiệm .

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:

\(t^2-3m.t+m=0\) (1) 

Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:

TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)

\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)

TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)

\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)

2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)

Ko tồn tại m thỏa mãn

Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?

Lời giải:

\(\left\{\begin{matrix} x+xy+y=2m+1\\ xy(x+y)=m^2+m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=2m+1-(x+y)\\ xy(x+y)=m^2+m\end{matrix}\right.\Rightarrow [2m+1-(x+y)](x+y)=m^2+m\)

Đặt \(x+y=t\Rightarrow t^2-t(2m+1)+m^2+m=0\)

Để pt có bộ nghiệm (x,y) duy nhất thì $t$ phải là duy nhất. Do đó:

\(\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m)=0\Leftrightarrow 1=0\)

(vô lý)

Do đó không tồn tại m để hệ có bộ nghiệm duy nhất.

Dạng này làm như sau:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=S\\xy=P\end{matrix}\right.\)

Sau đó biến đổi về phương trình bậc 2 theo ẩn S

Để hệ ban đầu có nghiệm duy nhất thì trước hết phương trình theo ẩn S có nghiệm duy nhất hoặc có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm không thuộc tập xác định của hệ phương trình theo ẩn S, P. Đây mới chỉ là điều kiện cần.

Sau đó thế các nghiệm của S, P vào hệ rồi giải ra xem thử có nghiệm x, y hay không. Đây là điều kiện đủ. Xong 2 cái này thì mới kết luận là hệ có nghiệm duy nhất với m = ????

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\)

=>\(m^2\ne1\)

=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)

Khi \(m\notin\left\{1;-1\right\}\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=2m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m^2+m-m^2y+y-2m=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(-m^2+1\right)=-m^2+m\\x=m+1-my\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m^2-m}{m^2-1}=\dfrac{m\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\dfrac{m}{m+1}\\x=m+1-\dfrac{m^2}{m+1}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m}{m+1}\\x=\dfrac{\left(m+1\right)^2-m^2}{m+1}=\dfrac{2m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Để \(\left\{{}\begin{matrix}x>=2\\y>=1\end{matrix}\right.\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1}{m+1}>=2\\\dfrac{m}{m+1}>=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2\left(m+1\right)}{m+1}>=0\\\dfrac{m-m-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2m-2}{m+1}>=0\\\dfrac{-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{m+1}>=0\\-\dfrac{1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+1< 0\)

=>m<-1